Bilişim Geometrisinde Temel Kavramlar

Projedeki temel gaye, afin diferansiyel geometrideki değişik eğrilik kavramlarının ve manifoldların genel özelliklerinin istatistik uygulamalarını bulmaktır. Bilişim geometrisi olasılık dağılımı ailelerinin sahip olduğu doğal geometrik yapının incelenmesi fikriyle çalışılmaya başlanmıştır. Örneğin, ortalama değer μ ve varyansı σ olan normal dağılımların kümesi S ile gösterelim. Bu küme üzerinde (μ, σ) yı belirleyerek özel bir normal dağılım belirlemiş oluruz, bu durumda S kümesi (μ, σ) yı koordinat sistemi olarak kabul eden 2 boyutlu bir uzay (manifold) olarak görülebilir. Ancak, bu uzay bir Öklid uzayı değil fakat olasılık dağılımlarının özelliklerine bağlı olan bir Riemann uzayıdır. S örneğimizde olduğu gibi normal dağılımların ailesi olarak seçildiğinde sabit negatif eğrilikli bir uzaydır, yani hiperbolik uzaya izometriktir. Bu olasılık dağılımlarının özellikleri vasıtasıyla Riemann yapıya ek olarak birbirine dual olan afin konneksiyonlar elde ederiz ki, bu konu afin diferansiyel geometrinin ilgi çekici araştırma alanlarından biridir. Olasılık dağılımları istatistik, stokastik süreçler ve bilişim teorisinin temel yapılarından birisidir. Dolayısıyla sahip oldukları doğal diferansiyel geometrik dual yapının zarifliğinin yanısıra bilişim bilimlerinde de önemli bir role sahiplerdir. İstatistiki tahminlere diferansiyel geometrinin bakış açısından yaklaşmak, istatistikteki pek çok açık problemin çözümü için yeni bir analitik yöntem kazandırmıştır. Bilişim geometrisi, bilişim teorisi, stokastik süreçler ve sistemler gibi alanlarda ise hala henüz sonuçlanmamış pek çok problemin çözümünde etkin bir araç olarak kullanılmaktadır. Ancak, bilişim geometrisinin uygulamaları yalnızca bu alanlarla sınırlı değildir. Mesela, bilişim geometrisinin sinir ağlarının matematiksel teorisinde (nöro-manifoldlar) ve istatistiki fizikte de verimli uygulamaları mevcuttur. Dahası dual geometrik yapı ile integrallenebilen dinamik sistemler arasında doğal bir ilişki vardır. Ayrıca, kuantum sistemlerinin bilişim geometrisi üzerindeki araştırmalar yeni gelişmelere ışık tutacaktır. Sonuç olarak, diferansiyel geometri; istatistiki fizik ve biyoistatistikte, veri madenciliğinde, makine öğrenmesi gibi farklı alanlara ait problemleri, geometrik bakış açısıyla ele alarak ve yeni araçlar geliştirerek bu alanların da ilerlemesine katkıda bulunmak için çalışmalarımız devam etmektedir. Bilişim geometisinde Fisher Bilişim Metriği ve α-konneksiyonları önemli bir rol oynamaktadır. Bilindiği üzere bir manifold üzerinde sonsuz sayıda Riemann metriği ve afin konneksiyon tanımlanabilir bu elbette istatistiki modeller vasıtasıyla tanımlanan manifoldlar için de geçerlidir. Bu nedenle, Fisher Metriğini ve α-konneksiyonlarını diğerlerinden önemli ve farklı kılan bir özellik ya da özelliklerin neler olduğunu açıklamak gerekir. Sonlu kümeler söz konusu olduğunda Fisher Metriği (bir sabitle farkedecek kadar) ve α-konneksiyonları yeterli istatistik altında değişmezlerdir. Bu özelliğin sonsuz kümeler üzerinde tanımlanan modeller üzerinde de korunması beklenilir. Fisher Metriği ve α-konneksiyonları bu değişmezlik şartını sağlarlar. Bu çalışmada, öncelikli olarak Fisher Bilişim Metriği, Fisher Bilişim Matrisi ve Beklenen Değerin bazı özellikleri yardımıyla olasılık dağılımlarının Fisher Bilişim Matrisleri incelenecek ayrıca bilişim geometrisinin temel yapılarından olan üstel ve/veya karışım ailelerini kullanarak farklı hesaplamalar yapılacaktır.